مدلسازی سخت شدگی کششی بتن و تاثیر آن بر ظرفیت خمشی دیوار برشی بتنی

سخت شدگی کششی بتن یا معادل آن tension stiffening یعنی وقتی بتن ترک می‌خورد، بتن بین ترک‌ها هنوز بخشی از نیروی کششی را از طریق چسبندگی با آرماتور منتقل می‌ کند و در نتیجه سختی مؤثر عضو پس از ترک فورا به صفر نمی‌رسد. این پدیده خیز سرویس، توزیع انحنا و نقطه آغاز پلاستیک را تغییر میدهد و برای تحلیل های غیرخطی و ارزیابی عملکردی سازه ها اهمیت دارد.

در عمل آیین‌نامه‌ها دو رویکرد دارند، یکی اینکه برخی (مثلاً ACI) اثر سخت شدگی را به‌صورت مهندسی‌ شده و با مفهوم ممان اینرسی مؤثر وارد محاسبات خیز می‌کنند، و برخی مدل‌های مبتنی بر fracture/tension-stiffening و σ–w ارائه می‌دهند که برای تحلیل های عددی دقیق تر مناسب است. بنابراین انتخاب روش مدلسازی بستگی به هدف تحلیل (خیز سرویس یا رفتار غیرخطی ) دارد.

در طراحی بر اساس عملکرد مثل FEMA P-58 و دستورالعمل‌ ارزیابی لرزه‌ای ASCE 41 مدل مصالح و تغییرات سختی در خروجی‌ های عملکردی مثل آسیب‌ پذیری و جابجایی‌ های پیش‌بینی‌ شده نقش مستقیم دارد درواقغ اگر tension stiffening خروجی را تغییر دهد باید در مدل لحاظ یا حساسیت‌ سنجی بشود.

مفهوم فنی سخت شدگی کششی بتن

همانطور که در تصویر نشان داده ام، وقتی یک عضو بتن‌ مسلح تحت کشش قرار می‌گیرد بتن ابتدا تمام نیروی کششی را تا حد مقاومت کششی خودش تحمل می‌کند. به‌ محض رسیدن به تنش ترک‌ خوردگی $f_{ct}$، ترک ها شکل میگیرند، اما بتن بین ترک‌ها هنوز با چسبندگی به میلگرد، بخشی از نیرو را منتقل می‌کند. این همان پدیده‌ سخت شدگی کششی بتن است.

در نتیجه، منحنی تنش–کرنش عضو بتن آرمه در کشش، بعد از ترک‌ خوردگی ناگهان سقوط نمی‌کند، بلکه با شیب ملایم کاهش می‌یابد تا زمانی که بتن دیگر نتواند نیروی مؤثری را منتقل کند. این بخش از منحنی، بخش نرم‌شوندگی تدریجی بتن ترک‌ خورده است و رفتار واقعی میلگرد و بتن را دقیق‌تر نشان می‌دهد.

روابط کلی تنش–کرنش برای مدل‌ سازی پدیده سخت شدگی کششی بتن

مدل‌های زیادی برای بیان رفتار بتن ترک‌ خورده در کشش ارائه شده‌اند. مثلا:

1. مدل Goto (1971):
   رابطه‌ی میانگین تنش بتن بین ترک‌ها به‌صورت نمایی کاهش می‌یابد:

   $${\sigma }_c=f_{ct}{e}^{-k\left(\frac{\epsilon -{\epsilon }_{cr}}{{\epsilon }_{cr}}\right)}$$
   

   که در آن $k$ پارامتری تجربی است (بین 1 تا 5) و ${\epsilon }_{cr}$ کرنش متناظر با $f_{ct}$ است.
    مرجع: Goto, Y. (1971). “Cracks formed in concrete around deformed tension bars.” ACI Journal.

2. مدل Bischoff (2001):
   تنش بتن بین ترک‌ها تابعی از کرنش فولاد و نسبت آرماتور است:

   $$\frac{{\sigma }_c}{f_{ct}}=\frac{1}{1+\alpha \left(\frac{\epsilon -{\epsilon }_{cr}}{{\epsilon }_{cr}}\right)}$$

   که در آن $\alpha$ به‌ صورت تجربی از آزمایشهای کشش مستقیم تعیین می‌شود.
    مرجع: Bischoff, P.H. (2001). “Tension stiffening and cracking of reinforced concrete.” Journal of Structural Engineering, ASCE.

3. مدل fib Model Code 2010:

در این مدل از رابطه‌ی تنش–بازشدگی ترک $\sigma (w)$ استفاده می‌شود:

$${\sigma }_t=f_{ct}(1-\frac{w}{w_1})\text{برای }w<w_1$$

که $w$ بازشدگی ترک و $w_1$ مقدار بحرانی است که در آن بتن تمام تنش کششی را از دست می‌دهد (معمولاً حدود 0.3 تا 0.5 mm).
 مرجع: fib Model Code for Concrete Structures 2010.

          4 .مدل Hognestad (برای مقایسه):
هرچند مدل Hognestad بیشتر برای فشار بتن استفاده می‌شود، در برخی تحقیقات نسخه‌ی اصلاح‌شده‌ای از آن برای بخش کششی نیز پیشنهاد شده که شامل بخش صعودی خطی تا $f_{ct}$ و سپس افت نرم‌شونده پارابولیک است.

تفسیر رفتاری

در عمل، اثر سخت شدگی کششی بتن باعث موارد زیر می شود:

• تعداد ترک‌ها بیشتر و فاصله‌ی ترک‌ها کمتر شود.

• خیز تیر و تغییرمکان دیوار کاهش یابد.

• توزیع تنش بین بتن و فولاد واقعی‌تر شود.

این رفتار برای مدلسازی دقیق در تحلیل غیرخطی سازه‌های بتن‌آرمه (مثل دیوار برشی یا تیر عمیق) ضروری است.

مدل‌های تحلیلی و تجربی برای لحاظ کردن سخت‌ شدگی کششی

سخت‌ شدگی کششی بتن در آیین‌نامه‌ های مدرن بتن به‌ صورت مستقیم وارد روابط طراحی نشده، اما اثر آن به‌طور ضمنی در روابط خیز، سختی مؤثر و توزیع ترک‌ها لحاظ می شود. دو منبع اصلی در این زمینه ACI 318-19 و fib Model Code 2010 هستند که در ادامه روش برخورد آن‌ها را توضیح می‌دهم.

در آیین‌نامه ACI 318-19

در ACI 318، سخت‌ شدگی کششی بتن در قالب (سختی مؤثر ترک‌خورده) و (خیز عضو) دیده می‌ شود. آیین‌نامه فرض می‌ کند که پس از ترک‌ خوردگی بتن، بتن هنوز کمی از تنش کششی را تحمل می‌کند. این اثر در رابطه‌ سختی مؤثر گنجانده شده است:

$$\frac{1}{I_e}=\frac{M_{cr}}{M_a}\cdot \frac{1}{I_g}+(1-\frac{M_{cr}}{M_a})\cdot \frac{1}{I_{cr}}$$

که در آن:

• $I_e$: ممان اینرسی مؤثر

• $I_g$: ممان اینرسی مقطع سالم

• $I_{cr}$: ممان اینرسی مقطع ترک‌ خورده

• $M_{cr}$: لنگر ترک‌ خوردگی

• $M_a$: لنگر اعمالی

این رابطه بر اساس مطالعات Branson (1968) توسعه یافت و به‌طور غیرمستقیم اثر Tension Stiffening را در کاهش خیز و افزایش سختی مؤثر لحاظ می‌کند.
 مرجع: Branson, D.E. (1968). “Design procedures for computing deflections.” ACI Journal.

در مدل‌ های عددی که بر مبنای آیین‌نامه ACI تنظیم می‌شوند (مثلاً در ETABS یا SAP2000)، ضریب کاهش سختی خمشی اعضا معمولاً بین 0.35 تا 0.7 در نظر گرفته می‌شود که این ضرایب هم عملا اثر سخت‌ شدگی کششی بتن را در خود دارند. البته این تجربه استفاده من از این دو نرم افزار است.
 ACI 318-19, Section 24.2.3.5 & Commentary R24.2.3.5.

در fib Model Code 2010

fib Model Code 2010 به باور من نگاه پیشرفته‌ و فنی تری دارد و پدیده‌ سخت‌ شدگی کششی بتن را به‌صورت صریح از طریق مدل‌های Tension Chord لحاظ میکند. در این مدل‌ها، تنش کششی بتن به‌ صورت تابعی از بازشدگی ترک ($w$) بیان می‌شود:

$${\sigma }_t=f_{ctm}(1-\frac{w}{w_1})\text{برای }0<w<w_1$$$${\sigma }_t=0\text{برای }w\ge w_1$$

که در آن:

• $f_{ctm}$: مقاومت کششی متوسط بتن

• $w$: بازشدگی ترک

• $w_1$: بازشدگی بحرانی (که حدود 0.3–0.5  mm است)

در این مدل، سخت‌ شدگی کششی بتن به‌صورت واقعی‌ تری محاسبه می‌شود چون رابطه‌ بین تنش بتن و بازشدگی ترک مستقیما در محاسبه‌ سختی مؤثر و توزیع تنش به کار می‌رود.
 fib Model Code for Concrete Structures 2010, Section 7.3.2.

مدل‌های تجربی تکمیلی

علاوه بر آیین‌نامه‌ها، روابط تجربی زیر به‌طور گسترده برای مدل‌سازی سخت‌ شدگی کششی بتن استفاده می‌شوند:

1. Model by Gilbert (2007):

   $$\frac{{\sigma }_c}{f_{ct}}=e^{-0.8\frac{\epsilon -{\epsilon }_{cr}}{{\epsilon }_{cr}}}$$

   این مدل برای تیرهای بتن‌آرمه با نسبت فولاد معمولی بسیار دقیق عمل می‌کند.
    Gilbert, R.I. (2007). “Tension stiffening in reinforced concrete slabs.” Journal of Structural Engineering, ASCE.

2. CEB-FIP 1990 Model Code:

   $${\sigma }_c=f_{ct}(1-\frac{\epsilon -{\epsilon }_{cr}}{{\epsilon }_{cu}-{\epsilon }_{cr}})$$
   

   که در آن ${\epsilon }_{cu}$ کرنش نهایی بتن در کشش است. این مدل اساس روابط موجود در fib 2010 بوده است.

در واقع ACI 318-19  سخت‌ شدگی کششی بتن را ضمنی و از طریق سختی مؤثر لحاظ می‌کند در حالی که fib Model Code 2010 آن را صریح و با روابط تنش بازشدگی ترک مدل می‌کند. مدل‌های تجربی هم امکان مدلسازی دقیق تری در تحلیل عددی فراهم می‌کنند.

نحوه‌ی اعمال سخت‌ شدگی کششی بتن در مدل‌های عددی

در مدل‌های عددی، سخت‌ شدگی کششی بتن معمولا با اصلاح منحنی تنش–کرنش بتن در ناحیه کششی یا با استفاده از مدلهای مصالح دیگر شبیه سازی می‌شود. در ادامه، روش کار برای سه نرم‌افزار رایج — OpenSees، ETABS Nonlinear و ABAQUS را معرفی میکنم.

مدل سازی در OpenSees یا OpenSeesPy

در OpenSees، مدل‌های بتن متعددی وجود دارند؛ اما برای لحاظ کردن سخت‌ شدگی کششی بتن، معمولاً از Concrete02 استفاده می‌شود، چون امکان تعریف رفتار نرم‌شوندگی در کشش را دارد.

مدل Concrete02:

$${\sigma }_t=\{\begin{array}{ll}{E}_t\cdot {\epsilon }_t,& {\epsilon }_t\le {\epsilon }_{cr}\\ f_t(1-\frac{{\epsilon }_t-{\epsilon }_{cr}}{{\epsilon }_u-{\epsilon }_{cr}}),& {\epsilon }_{cr}<{\epsilon }_t<{\epsilon }_u\\ 0,& {\epsilon }_t\ge {\epsilon }_u\end{array}$$

• $f_t$: مقاومت کششی بتن (≈ 0.33√f’c)

• ${\epsilon }_{cr}=f_t\mathrm{/}{E}_c$: کرنش ترک‌ خوردگی بتن

• ${\epsilon }_u$: کرنش نهایی در کشش (مثلاً 10 تا 15 برابر ${\epsilon }_{cr}$)

به این ترتیب پس از ترک خوردن بتن تنش به تدریج کاهش می‌یابد یعنی اثر tension stiffening بازتولید می‌شود.

 Reference: Mazzoni et al. (2007), “OpenSees Command Language Manual.”
 fib Model Code 2010, Section 7.3.2.

در OpenSeesPy نیز همین تعریف به صورت زیر است:

uniaxialMaterial('Concrete02', matTag, fpc, epsc0, fpcu, epsU, ft, Ets)

که Ets (شیب نرم‌ شوندگی در ناحیه کشش) باید مطابق داده‌های آزمایشگاهی یا مدل fib انتخاب شود.

مدلسازی در ETABS:

در ETABS و SAP2000 کاربر به مصالح کششی بتن دسترسی مستقیم ندارد بنابراین اثر سخت‌ شدگی کششی بتن به‌طور غیرمستقیم و از طریق ضرایب کاهش سختی خمشی اعمال می‌شود.

• برای اعضای خمشی:
  $I_{eff}=0.35I_g$ تا $0.7I_g$ بسته به سطح ترک‌ خوردگی ( که برای تیر، ستون و دیوار بتنی متفاوت است)

• برای دیوارهای برشی در تحلیل غیرخطی:
  سختی خمشی مؤثر معمولا 0.5 از مقدار خطی در نظر گرفته می‌شود تا اثر ترک‌ها و سخت‌ شدگی کششی بتن در نظر گرفته شود.

این ضرایب در واقع معادل مهندسی‌ شده‌ای از پدیده‌ی tension stiffening هستند که در آیین‌نامه‌ی ACI 318-19 Commentary R24.2.3.5 توصیه شده‌اند.

 CSI Analysis Reference Manual, 2023
 ACI 318-19, Commentary R24.2.3.5.

مدلسازی در ABAQUS:

در ABAQUS می‌توان این رفتار را به‌صورت دقیق‌تر و صریح‌تر مدل کرد، زیرا امکان تعریف رابطه‌ی تنش–کرنش یا تنش–بازشدگی ترک وجود دارد.

دو رویکرد اصلی وجود دارد:

1. Concrete Damaged Plasticity (CDP)

در این مدل، رفتار کششی بتن با دو پارامتر تعریف می‌شود:

• $f_t$: مقاومت کششی

• ${\epsilon }_t$–${\sigma }_t$ یا $w_t$–${\sigma }_t$: منحنی نرم‌ شوندگی

مثلا با مدل fib:

$${\sigma }_t=f_t(1-\frac{w}{w_1})$$
که $w_1$ حدود 0.3 تا 0.5 mm است.

2. Crack Band Model (Hillerborg)

در این روش، تنش تابعی از گسیختگی انرژی ($G_f$) است:

$${\sigma }_t=f_t(1-\frac{{\epsilon }_t}{{\epsilon }_{cr}+\frac{G_f}{f_t{l}_{ch}}})$$

که $l_{ch}$ طول مشخصه شبکه المان است.

 ABAQUS Documentation 2024, Section 23.5.4: Tension stiffening for concrete.
 Hillerborg, A. et al. (1976). “Analysis of crack formation and growth in concrete by means of fracture mechanics.” Cement and Concrete Research.

تأثیر سخت‌ شدگی کششی بتن بر ظرفیت خمشی موثر دیوارهای برشی در طراحی لرزه‌ای

در طراحی لرزه‌ای دیوارهای برشی بتنی، معمولا فرض میشه بتن در ناحیه‌ کششی بعد از ترک‌ خوردن هیچ نقشی نداره. به نظر من این فرض کمی محافظه‌ کارانه‌ است، اما همیشه هم دقیق نیست. آزمایش های زیادی در دهه‌ اخیر نشون دادن که در محدوده‌ تغییرمکان‌ های سرویس و حتی تا نزدیکی تسلیم میلگردها، بتن ترک‌ خورده هنوز بخشی از نیرو رو تحمل می‌کند. که این دقیقا همون پدیده‌ سخت‌ شدگی کششی بتن اسست که باعث می‌شود ظرفیت خمشی مؤثر و سختی اولیه‌ دیوار بیشتر از چیزی باشه که با مدلهای کلاسیک پیش‌ بینی می‌شود.

مطابق ASCE 41-17، سختی مؤثر دیوارهای برشی باید با ضریب کاهش ترک‌ خوردگی $I_{eff} = \alpha I_g$ محاسبه بشه که مقدار $\alpha$ بسته به نوع عضو بین 0.35 تا 0.7 پیشنهاد شده. ولی در واقع، این ضریب یک روش ساده‌ شده برای لحاظ ضمنی سخت‌ شدگی کششی بتن. مطالعات Gilbert و Vecchio (۲۰۱۳) نشون دادن که اگر اثر سخت‌ شدگی کششی بتن بطور صریح در مدل در نظر گرفته بشه، ضریب $\alpha$ واقعی در محدوده‌ 0.6 تا 0.8 قرار می‌گیرد، یعنی دیوار واقعا سختتر از چیزی رفتار می‌کنه که آیین‌نامه پیش‌ فرض گرفته. این اختلاف در تحلیل عملکردی FEMA P-58 می‌ تواند منجر به تفاوت قابل‌ توجهی در پیشبینی دریفت و آسیب سازه شود.

در مدلسازی غیرخطی FEMA P-58، پاسخ لرزه‌ای بر اساس منحنی نیرو–تغییرمکان به‌دست میاد. اگر اثر سخت‌ شدگی کششی بتن لحاظ نشه، منحنی در بخش اولیه شیب کمتری خواهد داشت و نقطه‌ تسلیم زودتر اتفاق می‌افتد. نتیجه‌ نهایی اینه که تحلیل، سازه رو نرم‌تر و آسیب‌ پذیرتر از واقعیت نشان می‌دهد. همین باعث می‌شه در ارزیابی ریسک، احتمال خسارت بیش از مقدار واقعی برآورد بشه. که تحقیقات Lim et al., 2020 (Journal of Structural Engineering, ASCE) این موضوع رو تایید کردن و پیشنهاد دادن که در مدلهای غیر خطی، سختی اولیه‌ دیوار باید با درنظر گرفتن سخت‌ شدگی کششی بتن تنظیم بشه تا انرژی جذب واقعی و رفتار هیسترزیس درست شبیه سازی بشه.

به لحاظ مکانیکی، سخت‌ شدگی کششی بتن باعث افزایش ممان اینرسی موثر در ناحیه‌ ترک‌ خورده می‌ شود چون بین ترک‌ها هنوز تنش کششی در بتن وجود داره. در دیوارهای بلند با نسبت فولاد پایین، این پدیده بیشتر دیده می‌شه و می‌تونه تا ۲۰٪ ظرفیت خمشی مؤثر را افزایش دهد (مطابق نتایج آزمایش Paulay & Priestley, 1992; Palermo et al., 2015). اما در دیوارهای مرزی با فولاد فشرده یا دیوارهای با چگالی میلگرد بالا، سهم این اثر کمتره چون بتن خیلی زود از کشش خارج می‌شه.

در آیین‌نامه‌ها، این اثر هنوز به‌صورت صریح وارد معادلات طراحی نشده، ولی در مدل‌های غیرخطی جدیدتر مثل آنچه در ASCE 41-23 پیشنهاد شده، به مهندس اجازه داده می‌شه گه از سختی مؤثر مبتنی بر مدل مصالح واقع‌ گرایانه استفاده کنه. یعنی اگر از مدل‌های مصالحی استفاده بشه که در آن‌ها منحنی تنش–کرنش بتن در کشش شامل بخش نرم‌شونده باشد (مثل مدل Concrete02 یا ConcreteCM در OpenSees)، اثر سخت‌ شدگی کششی بتن به‌صورت طبیعی در رفتار کلی عضو ظاهر می‌شود و نیازی به ضریب تجربی نیست.

به زبان ساده، اگر در تحلیل غیر خطی خودمون برای دیوار بتنی فقط بتن ترک‌ خورده‌ کاملا گسیخته در نظر بگیریم، پاسخ دیوار بیش از حد انعطاف‌ پذیر می‌ شود و دریفت‌ها افزایش پیدا می‌کنن. ولی وقتی اثر سخت‌ شدگی کششی بتن رو لحاظ می‌کنیم، منحنی نیرو و جابجایی با نتایج آزمایشگاهی همخوانی بیشتری دارد، سختی مؤثر بیشتر می‌شود و ظرفیت خمشی پیشبینی‌ شده به واقعیت نزدیک‌ میشود.

به‌طور خلاصه، در طراحی لرزه‌ای بر اساس FEMA P-58 و ASCE 41، سخت‌ شدگی کششی بتن باید در مرحله‌ مدلسازی مصالح لحاظ بشه، نه با ضرایب ثابت. این کار باعث دقت بیشتر در پیشبینی آسیب، ظرفیت، و سختی واقعی دیوار خواهد شد مخصوصا اینکه در دیوارهای با فولاد کم یا بتن با مقاومت بالا که این اثر در آنها برجسته‌ تر هم میشود.

جمع‌ بندی و نکات طراحی درباره سخت‌ شدگی کششی بتن

پدیده‌ی سخت‌ شدگی کششی بتن (Tension Stiffening) یکی از جنبه‌ های کمتر دیده‌ شده ولی بسیار موثر در رفتار اعضای بتن مسلح هست. این پدیده نشون می‌دهد که حتی بعد از ترک‌ خوردگی بتن، بتن هنوز می‌تواند بخشی از تنش کششی رو بین ترکها تحمل کنه و همین باعث افزایش سختی، کاهش خیز و بهبود ظرفیت خمشی موثر می‌ شود.

در تحلیل و طراحی سازه‌ ها، آیین‌نامه‌ ها مثل ACI 318-19 و ASCE 41-17 معمولا این اثر رو به‌  صورت غیر مستقیم و از طریق ضرایب کاهش سختی لحاظ می‌کنند. ولی وقتی از مدلهای عددی دقیق‌ تر (OpenSees، ABAQUS، ETABS nonlinear) استفاده می‌کنیم، بهتره این رفتار مستقیما در مدل مصالح تعریف بشه درواقع  یعنی منحنی تنش–کرنش بتن در کشش شامل شاخه‌ نرم‌ شونده باشد تا انتقال تدریجی تنش بعد از ترک بازتولید بشود.

در مقایسه با نتایج آزمایشگاهی، مدل‌هایی که سخت‌ شدگی کششی بتن رو در نظر می‌گیرند، هم از نظر شیب اولیه‌ منحنی نیرو–جابجایی و هم از نظر ظرفیت نهایی، دقت بسیار بالاتری دارند. این موضوع مخصوصا در دیوارهای برشی باریک، تیرهای بلند و مقاطع با فولاد کم، اهمیت بیشتری پیدا می‌کنه چون سهم بتن در انتقال کشش بیشتره.

درواقع اگر بخوایم رفتار واقعی‌ت ری از سازه بتنی در تحلیل غیرخطی داشته باشیم، نباید این پدیده رو نادیده بگیریم. تعریف درست منحنی نرم‌ شونده در بتن کششی، می‌تواند تفاوت بین یک مدل ساده‌ محافظه‌ کارانه و یک مدل واقع‌ گرایانه باشه که دقیقا مثل رفتار آزمایشگاهی عمل می‌کنه.

اگر شما هم در مدلسازی اثر سخت‌ شدگی کششی بتن تجربه‌ای دارید چه در OpenSees، چه در ABAQUS یا ETABS  خوشحال می‌شم تجربه‌ شما را در بخش کامنت‌ها بخوانم.
این تبادل تجربه‌ها دقیقا همون چیزیه که باعث رشد دانش فنی جامعه مهندسی می‌شود.